Sekcja 2 z 3• Liczby rzeczywiste

Logarytmy i tożsamości

Suma, różnica, wyciąganie potęgi i obliczanie wartości logarytmu ze wzorów CKE.

W skrócie i po ludzku

Boisz się zapisu log₂ 8? Logarytm to po prostu pytanie: „Do jakiej potęgi muszę podnieść małą liczbę na dole (2), żeby dostać tę w środku (8)?”. Ponieważ 2³ = 8, to log₂ 8 = 3. Cała reszta na maturze to proste wzory: dodawanie logarytmów zamieniasz na mnożenie liczb, a odejmowanie na dzielenie.

Krok po Kroku (1)

Na Czym Się Nie Wywalić (Pułapki)

Odejmowanie liczb logarytmowanych

Błędny odruch:

Uczeń pisze: log₃(72) - log₃(2) = log₃(72 - 2) = log₃(70).

Prawidłowo:

Różnica logarytmów to logarytm ILORAZU: log₃(72 / 2) = log₃(36).

**Dlaczego:** Nie odejmujemy liczb wewnątrz logarytmu. Zawsze wykonujemy dzielenie liczb logarytmowanych.

Prawa Logarytmów

Tablice CKE — str. 2

\begin{aligned} \log_a(x \cdot y) &= \log_a x + \log_a y \\[4pt] \log_a\left(\frac{x}{y}\right) &= \log_a x - \log_a y \\[4pt] \log_a(x^k) &= k \cdot \log_a x \end{aligned}

**Zasada:** Liczba stojąca PRZED logarytmem (np.

2\log_3 x

) musi najpierw wejść do wykładnika

\log_3(x^2)

zanim zastosujesz wzór na sumę/różnicę!

Anatomia Logarytmu

Logarytm to pytanie o wykładnik c: „Do jakiej potęgi muszę podnieść małą podstawę a na dole, aby otrzymać liczbę b w środku?”.

aMała liczba w indeksie dolnym

Podstawa logarytmu

Liczba bazowa (

a > 0, a \neq 1

). Gdy brak podstawy

\log x

, domyślna podstawa to

a = 10

bDuża liczba wewnątrz logarytmu

Liczba logarytmowana

Wynik potęgowania

a^c

. Musi być zawsze ściśle dodatnia (

b > 0

). Nie istnieje logarytm z zera ani z liczb ujemnych.

cSzukany wykładnik potęgi

Wartość logarytmu

Wynik logarytmu spełniający

a^c = b

. Np.

\log_3 9 = 2

, bo

3^2 = 9

. Może przyjmować wartości ujemne (np.

\log_2 \frac{1}{2} = -1

Opanowałeś teorię z tego tematu?

Przejdź do zadań CKE lub zobacz interaktywną animację, aby utrwalić wiedzę w praktyce.